Ықтималдықтар теориясының элементтері. Негізгі ұғымдар мен анықтамалар.
Ықтималдықтар теориясында оқиға, ықтималдық, кездейсоқ шама ұғымдары кең пайдаланылады.
Оқиға – тәжірибенің нәтижесінде орын алуы немесе алмауы мүмкін болатын кез-келген факт.
Оқиғаның ықтималдығы – сол оқиғаның объективті мүмкіндік дәрежесінің сандық мөлшері. Кейбір А оқиға болуы немесе болмауы жағдайға тәуелді болатын кейбір тәжірибе немесе құбылыс қарастырылатын болсын.
Егер бірдей және бір-біріне тәуелсін сынаулардың бүкіл сериясы жүзеге асырылатындай тәжірибенің шарттарын көп рет ұдайы өңдіру мүмкін болса, онда А оқиғаның ықтималдығын: P(A) = m / n формула бойынша есептеуге болады, мұндағы n – бір-бірі н өзара болғызбайтын нәтижелердің жалпы саны; m – А оқиғасының пайда болуына әкелетін нәтижелер.
Ықтималдық 0 ден 1 дейін мәндерді қабылдай алады. Ықтималдығы 0-ге тең оқиға мүмкін емес оқиға, ал ықтималдығы 1-ге тең оқиға шынайы оқиға деп аталады. Егер тәжірибенің нәтижесінде міндетті түрде олардың кемінде біреуі пайда болуы тиіс болса, ондай бірнеше оқиғалар толық топты құрайды. Егер олардың екеуі бірге пайда бола алмаса ондай бірнеше оқиғаларды бұл тәжірибеде үйлесімсіз оқиғалар деп атайды. Егер осы оқиғалардың бір де біреуінің объективті пайда болу мүмкіндігі басқасының пайда болу мүмкіндігінен аспайтын бірнеше оқиғаларды бұл тәжірибеде мүмкіндіктері бірдей деп атайды. Егер олардың біреуінің пайда болуы басқа оқиғалардың пайда болғандығына тәуелді болмаса ондай оқиғалар тәуелсіз оқиғалар деп аталады.
Алдын-ала белгісіз кейбір мәнді қабылдай алатын шама кездейсоқ шама деп аталады.
Кездейсоқ шамалардың екі түрі болуы мүмкін:
- дискреттік (үздікті), оларды алдын-ала нөмірлеуге болатын бір-бірінен ажыратылған мәндерді ғана қабылдай алады;
- үздіксіз (аналогтық), кейбір аралықтағы кез-келген мәнді қабылдай алады.
Кейде дискреттік табиғатқа ие болатын кездейсоқ шамалар үздіксіз ретінде қарастырылады. Мұндай алмастыру кездейсоқ шама бір-бірінен айырмашылығы шамалы ғана болатын мәндерді қабылдайтын жағдайларда орынды, яғни дискретті кездейсоқ шаманы үздіксіз шамамен алмастыру есептеу нәтижелеріне әсерін тигізбейді. Мысалы, бір операция орындалуының орта уақытын орындалатын операциялар санына көбейтіндісі ретінде анықталатын, дискреттік кездейсоқ шама болып табылатын процессорда есепті шешу уақыт әдетте нөльден шексіздікке дейін аралықта өзгеретін үздіксіз кездейсоқ шама ретінде қарастырылады.
Кездейсоқ шамаларды жиі бас әріптермен, ал олардың мүмкін болатын мәндерін сәйкесінше кіші әріптермен белгілейді. Мысалы, есепті шешу барысында магниттік дискілерге қатынасу сандары – кездейсоқ Х шама x1=0, x2=1, x3=2, x4=3, ... мәндерді қабылдауы мүмкін.
Кездейсоқ шамалардың таралу заңдары. x1, x2,...,xn мәндерді қабылдайтын дискреттік кездейсоқ шаманы қарастырайық. X шама осы мәндердің әр қайсысын кейбір ықтималдықпен қабылдауы мүмкін. Кездейсоқ Х шама xi мәнді қабылдайтын ықтималдығын pi арқылы белгілейік: pi = Pr(X = xi) (i = 1, n). Егер тәжірибенің нәтижесінде X шама осы мәндердің тек біреуін ғана қабылдаса, онда үйлесімсіз оқиғалардың толық тобына ие боламыз, және кездейсоқ шаманың барлық мүмкін болатын мәндерінің ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең.
Бұл қосындыланған ықтималдық кейбір түрде жеке мәндер арасында таралған. Кездейсоқ шама ықтималдық көз қарасынан толығымен сипатталады, егер біз осы таралуды беретін, яғни таралу заңын анықтайтын болсақ.
Кездейсоқ шаманың таралу заңы деп кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндері мен соларға сәйкес ықтималдықтары арасындағы байланысты анықтайтын қатынасты атайды. Кездейсоқ шама туралы ол осы таралу заңына бағынышты деп айтады.
Дискреттік таралу заңдары. Дискреттік кездейсоқ шаманың таралу заңы (искреттік таралу заңы) келесі тәсілдердің біреуімен берілуі мүмкін:
- аналитикалық - кездейсоқ шаманың мәніне ықтималдықтың тәуелділігін бейнелейтін математикалық өрнек түрінде;
- кестелік - кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндері және оларға сәйкес ықтималдықтар санақталған кездейсоқ шаманың таралу қатары түрінде;
- графикалық – абсциссалар өсі бойынша кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндері, ал ординат өсі бойынша сол мәндердің ықтималдықтары салынған таралу көпбұрышы түрінде.
Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттары. Сандық сипаттар кездейсоқ шама таралуының ең маңызды ерекшеліктерін сығылған түрде бейнелеуге мүмкіндік береді. Көп жағдайларда кездейсоқ шама таралуының маңызды жақтарын кейбір дәрежеге дейін сипаттайтын тек жеке сандық параметрлерді ғана көрсеткен жеткілікті болады. Мысалы, оның жанында кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндері топтасатын кейбір орта мән; осы мәндердің орта мәнге салыстырмалы ыдырау дәрежесін сипаттайтын кейбір сан; таралудың асимметриясын (немесе “қиғаштығын”) сипаттайтын сан; таралудың “тіп-тіктігін”, яғни төбесінік үшкірлігін немесе жалпақтығын сипаттайтын сан және с.с.
Ықтималдықтар теориясынан көптеген сандық сипаттар пайдаланылады. Олардың ішінен түрлі ретті бастапқы және орталық моменттер ең жиі пайдаланылады. Олардың әрқайсысы таралудың кейбір қасиетін сипаттайды. Бастапқы моменттер координаттар басына салыстырмалы, ал орталық моменттер математикалық күтім, яғни таралудың орталығына салыстырмалы қарастырылады.
Сандық сипаттарды пайдалану көптеген ықтималдық есептерді шешуді едәуір жеңілдетеді.
Х дискреттік кездейсоқ шама x1, x2,…,xk мәндерін қабылдай алатын болсын дейік. Онда: X=xi оқиғаның пайда болу жиілігі (жиілік = min) – оларда Х xi мәнін қабылдаған mi тәжірибелер санының жалпы n тәжірибелер санына қатынасы.
X=xi оқиғаның ықтималдығы [P(X=xi) белгіленеді] ол n өскен сайын min-ға ұмтылады: pi=P(X=xi)≈ min