Question

Теңсіздікті шешіңдер. 2^(〖log〗_(0.5)^2 х)+х^〖log〗_(0,5)⁡х >2,5

Answer 1

2^(〖log〗_0.5^2 х)=2^((〖-log_2⁡х)〗^2 )=2^((log_2⁡〖х)〗^2 )=〖〖(2〗^log_2⁡х )〗^log_2⁡х =х^log_2⁡х  деп алсақ,
х^log_2⁡х +х^〖log〗_(0,5)⁡х >2,5 теңсіздігін аламыз. Мұнда  х^〖log〗_(0,5)⁡х =х^〖-log〗_2⁡х =1/х^〖log〗_2⁡х  ,
у=х^log_2⁡х    ,у>0  деп белгілейік .Онда берілген теңсіздікті    у+1/у>5/2  ,  у≠0,  у>0
түрінде жазамыз. Оны түрлендіріп   у2-5/2 у+1=(у-1/2)(у-2)>0 аламыз .
{█(у<1/2@у>2)┤   ⇒  {█(х^log_2⁡х    <1/2@х^log_2⁡х    >2)┤    екі жағын  2  негіз бойынша логарифмдеп,
{█(log_2⁡х  log_2⁡х<〖-log〗_2⁡2@log_2⁡х  log_2⁡х>log_2⁡2 )┤    ⇔  {█(log_2^2 х<-1       шешімі жоқ@log_2^2 х>1   шешімі болады)┤
log_2^2 х>1  ⇒  {█(log_2⁡х<-1@log_2⁡х>1)┤  ⇒  {█({█(х<1/2@х>0)┤@{█(х>2@х>0)┤ )┤      ⇒{█(0<х<1/2@х>2)┤
Жауабы:  (0:0,5) (ᴜ (2:∞)